在数学分析中，函数的可导性和连续性是两个重要的概念。它们之间的关系不仅是理论研究的核心，也是实际应用中的关键点。那么，究竟什么是可导？什么是连续？这两者之间又有着怎样的联系呢？

首先，我们来定义这两个术语。所谓连续，是指函数在其定义域内的每一点处都没有间断，即函数图像可以一笔画出而不会中断。换句话说，对于任意给定的正数ε，总能找到一个正数δ，使得当自变量的变化量小于δ时，函数值的变化量小于ε。

而可导则更进一步，它要求函数不仅连续，还必须在某一点附近具有良好的线性近似性质。具体来说，如果函数f(x)在某一点x₀处可导，则意味着该点处存在有限的斜率，也就是导数f'(x₀)存在。这表明函数在这一点附近的变化趋势可以用一条直线很好地描述。

接下来，让我们看看两者之间的关系。最直观的一点是：可导一定连续。这是因为，为了保证导数的存在，函数首先需要满足连续性条件。换句话说，如果你在一个点上找到了明确的斜率（即导数），那么这个点必然没有跳跃或断裂现象发生——否则就无法定义斜率了。因此，所有可导的函数都是连续的。

然而，反过来却不一定成立，即连续未必可导。一个典型的例子就是绝对值函数y=|x|。虽然它在整个实数范围内连续，但在原点(0,0)处却不可导，因为从左向右看它的斜率为-1，而从右向左看则是+1，这两个方向上的变化速率不一致，导致无法确定唯一的导数值。

此外，在某些特殊情况下，连续但不可导的现象还会更加复杂。例如，分段定义的函数或者含有尖角、折线等结构的函数都可能表现出这种特性。这些情况提醒我们，在处理具体问题时，不能简单地将连续性和可导性混为一谈，而是要根据实际情况仔细分析。

总结起来，可导与连续的关系可以概括如下：

1. 可导蕴含连续：任何可导的函数必定是连续的。

2. 连续未必可导：即使一个函数是连续的，也不一定能找到其导数。

理解这一关系有助于我们在学习高等数学时更好地把握函数的本质属性，并且能够帮助我们在解决实际问题时选择合适的工具和方法。希望本文对你有所帮助！